Ochenta años después de que Paul Erdős planteara una pregunta tan simple de enunciar como difícil de resolver, una inteligencia artificial ha movido una frontera que parecía inmóvil. El problema pide contar cuántos pares de n puntos pueden quedar exactamente a distancia uno dentro de un plano.
Erdős formuló ese reto en 1946 y lo convirtió en uno de esos enigmas que obligan a desconfiar de la intuición. Dibujar puntos sobre un papel parece un juego escolar, pero demostrar cuántas parejas pueden mantener la misma separación entra de lleno en la geometría más dura.
OpenAI encontró una cota que no había cambiado desde 1946
Un modelo de inferencia de uso general de OpenAI, probado internamente por la empresa, logró el primer avance en la cota inferior de este problema en ocho décadas. No resolvió por completo la pregunta de Erdős, pero sí empujó un límite matemático que llevaba generaciones resistiendo.
La clave está en una expresión que, fuera del ámbito matemático, suena casi críptica. El modelo demostró que pueden construirse configuraciones de puntos con al menos n^(1+δ) pares a distancia unitaria, donde δ es fijo y mayor que 0.
Eso importa porque δ no se desvanece cuando n crece. Dicho de otra forma, el número de parejas a distancia uno puede aumentar con una fuerza superior a la que marcaba la barrera anterior, y esa mejora no se evapora al pasar a conjuntos cada vez más grandes.
La IA cruzó de la geometría a la teoría algebraica de números
Aquí aparece una de las partes más llamativas del resultado. El modelo usó herramientas avanzadas de teoría algebraica de números para atacar un problema de geometría, una combinación que recuerda hasta qué punto las matemáticas modernas viven de conexiones inesperadas entre territorios que antes parecían lejanos.
No es solo una cuestión técnica. También sugiere que un sistema de IA puede encontrar caminos útiles entre ramas distintas de la disciplina, justo donde muchos problemas sobreviven porque nadie había visto todavía el puente adecuado.
Princeton revisó el resultado y confirmó que era correcto
OpenAI pidió a un grupo de matemáticos de Princeton que revisara la demostración. Ese grupo confirmó que la inteligencia artificial había llegado a un resultado correcto, un paso imprescindible cuando lo que está en juego no es una aproximación numérica, sino una afirmación formal.
En matemáticas, acertar no basta si no puede comprobarse. La validación externa coloca el hallazgo en un terreno distinto al de una buena intuición computacional y lo acerca al tipo de avance que otros especialistas pueden estudiar, discutir y aprovechar.
Dos matemáticos de referencia ven un puente hacia otros problemas
Tim Gowers, ganador de la Medalla Fields, y Arul Shankar, experto en teoría de números, han valorado el resultado en términos poco habituales para un campo tan sobrio. Ambos consideran que la IA ha entregado un logro extraordinario.
Gowers y Shankar no solo miran la respuesta concreta al problema de la distancia unitaria. También ven en ella un posible puente para que los matemáticos exploren otros problemas, una idea sugerente porque muchas veces un avance importante no cierra una pregunta, sino que enseña una técnica reusable.
Al final, la imagen sigue siendo la de 1946, unos puntos esparcidos sobre un plano y una distancia exacta de uno entre algunos de ellos. La diferencia es que ahora esa figura elemental contiene una cota inferior nueva, confirmada por Princeton, para un problema que llevaba ochenta años sin moverse.